1 Записать формулами алгебры высказываний.

Если человек читал книгу, то знает её содержание или основную идею.

Неверно, что если человек читал книгу, то знает её содержание или основную идею.

Если человек не знает содержания книги или её основной идеи, то он её не читал.

Если человек знает содержание или основную идею книги, то он её читал.

(A ⊕ B) ↔ (A ˄ B) ˅ (A ˄ B)

Если  истинны (A ⊕ B) → (А → В) и (А → В) → (A ˄ B) ˅ (A ˄ B) , то

(A ⊕ B) ↔ (A  ˄B) ˅ (A ˄ B)  истинно.

B → (A ˅ B)

Если истинно  В, то истинно  A ˅ B.

A → (A ˅ B)

Если истинно  A, то истинно  A ˅ B.

A → (B → A)

Доказать: Если истинны   А → (А˅В) и (А˅В) → (B → A), то A → (B → A) истинно.  

A → [B → (A˄B)]

Если истинны   А → В и В → [B → (A˄B)], то A → [B → (A˄B)] истинно.

(A → B) ↔ ˥(A ˄ B)

Если истинно   A → B, то истинно  ˥(A ˄ B).   

(A → B) ↔ ˥(A ˄ B)

Если истинно   A → B, то истинно  ˥(A ˄ B).   

(A → B) ↔ (A ˅ B)

Если истинны  A → B и A ˅ B , то истинно   (A → B) ↔ (A ˅ B).   

Если истинно  A → B, то истинно A ˅ B. Верно и обратное.

(A → B) ↔ (B → A)

Если истинно  A → B, то истинно  B → A. 

(A → B) ˅ (B → A)

Доказать

Если истинны A → B и В → А, то (A → B)˅(B → A) истинно.

(A → A) → A

Доказать

Если истинны (A → A) → В и В → A, то (A → A) → A истинно.

(A ˅ B) ↔ ˥(A ˄ B)

Доказать

Если истинны (A ˅ B) ↔ (A → B) и (A → B) ↔ ˥(A ˄ B), то (A ˅ B) ↔ ˥(A ˄ B) истинно.  

A ↔ (A ˅ B) ˄ (A ˅ B)

Доказать

Если истинны А → (A ˄ B) ˅ (A ˄ B) и (A ˄ B) ˅ (A ˄ B) → (A ˅ B) ˄ (A ˅ B), то истинно

А → (A ˅ B )˄ (A ˅ B).

(A ˅ B) ↔ (A → B)

Доказать

Если истинны (A ˅ B) → (A → B) и (A → B) → (A → B), то (A ˅ B) ↔ (A → B)  истинно.

(A ˄ B) ↔ (A ˄ B)

Доказать

Если истинны (A ˄ B ) ↔ (A → B) и (A ˄ B) → (A → B), то A ˄ B → A ˄ B истинно.

(A ˄ B) ↔ ˥(A → B)

Доказать

Если истинны (A ˄ B) → (A → B) и (A → B) → ˥(A → B), то (A ˄ B) ↔ ˥(A → B) истинно.

A ↔ (A ˄ B) ˅ (A ˄ B)

Доказать

Если истинны А ↔ (A˄B) и А ↔ (A˄B) , то А ↔ (A˄B)˅(A˄B) истинно.

(A ˄ B) → (A ↔ B)

Доказать

Если истинны (A ˄ B) → (A → B)   и (A → B) ↔ (A ↔ B, то (A ˄ B) → (A ↔ B) истинно.

(A ˄ B) → (A → B)

Доказать

Если истинны (A ˄ B) → ˥(A ˄ B)  и  ˥(A˄B) → (A → B), то (А ˄ В) → (A → B) истинно.

(A ˄ B) → ˥(A ˄ B)

Доказать

Если истинны (A ˄ B) → (A ˅ B) и (A ˅ B) ↔ ˥(A ˄ B), то (A ˄ B) → ˥(A ˄ B) истинно.

Теорема

Изменение кинетического момента механической системы относительно любого центра при ударе равно геометрической сумме моментов всех внешних ударных импульсов, приложенных к точкам системы, относительно того же центра.

А.А. Яблонский, В.М. Никифорова.   Курс теоретической механики. Т. 1, 2.

Теорема Карно

Кинетическая энергия, потерянная телами при неупругом ударе, равна кинетической энергии тел, соответствующей их потерянным скоростям.

Теорема

Изменение количества движения механической системы за время удара равно геометрической сумме всех внешних ударных импульсов, приложенных к точкам системы.

Теорема

Производная по времени от кинетического момента механической системы относительно центра масс системы в относительном движении системы по отношению к этому центру геометрически равна главному моменту внешних сил, действующих на точки системы относительно центра масс.

Следствия теоремы:

1.

Если главный момент внешних сил относительно центра масс все время остается равным нулю, то кинетический момент механической системы в ее относительном движении по отношению к центру масс, вычисленный относительно центра масс, не изменяется.

2.

Если главный момент внешних сил относительно некоторой оси, проходящей через центр масс системы, все время остается равным нулю, то кинетический момент механической системы в относительном движении по отношению к центру масс, вычисленный относительно этой оси, не изменяется.

Теорема

При любом движении механической системы ее кинетический момент относительно неподвижного центра равен геометрической сумме: момента относительно этого центра главного вектора количества движения системы, условно приложенного в центре масс, и кинетического момента системы в ее относительном движении по отношению к центру масс относительно этого центра.

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы.

Изменение кинетической энергии механической системы на некотором перемещении равно сумме работ внешних и внутренних сил, действующих на материальные точки системы на этом перемещении.

Теорема Кенига

Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетической энергии центра масс системы, масса которого равна массе всей системы, и кинетической энергии этой системы в ее относительном движении по отношении к центру масс.

Теорема

Работа кориолисовой силы инерции на относительном перемещении точки равна нулю и не входит в уравнение изменения кинетической энергии.

Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки.

Изменение кинетической энергии материальной точки на некотором ее перемещении равно алгебраической сумме работ всех действующих на эту точку сил на этом же перемещении.

Теоремы о работе силы

Теорема 1.

Работа равнодействующей силы на некотором перемещении равна алгебраической сумме работ составляющих сил на том же перемещении.

Теорема 2.

Работа постоянной силы на результирующем перемещении равна алгебраической сумме работ этой силы на составляющих перемещениях.

Теорема Резаля.

Скорость конца вектора кинетического момента механической системы относительно некоторого центра геометрически равна главному моменту внешних сил, действующих на эту систему, относительно того же центра.

Теорема об изменении кинетического момента механической системы.

Производная по времени от кинетического момента механической системы относительно некоторого центра геометрически равна главному моменту внешних сил, действующих на эту систему относительно того же центра.

Следствия из теоремы.

1. Если главный момент внешних сил относительно некоторого центра все время равен нулю, то кинетический момент механической системы относительно этого центра остается постоянным.

2. Если главный момент внешних сил относительно некоторой оси все время равен нулю, то кинетический момент механической системы относительно этой оси остается постоянным.

Теорема об изменении момента количества движения материальной точки относительно центра:

Производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно некоторого центра равна геометрической сумме моментов сил, действующих на точку, относительно того же центра.

Следствия из теоремы:

1. Если линия действия равнодействующей приложенных к материальной точке сил все время проходит через некоторый неподвижный центр, то момент количества движения материальной точки относительно этого центра остается постоянным.

2. Если момент равнодействующей приложенных к материальной точке сил относительно некоторой оси все время равен нулю, то момент количества движения материальной точки относительно этой оси остается постоянным.

Теорема об изменении количества движения механической системы в конечной форме.

Изменение количества движения механической системы за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов внешних сил, приложенных к системе, за тот же промежуток времени.

Теорема об изменении количества движения механической системы в дифференциальной форме

Производная по времена от количества движения механической системы геометрически 
равна главному вектору внешних сил, действующих на эту систему.

Следствия из теоремы:

1. Если главный вектор внешних сил все время равен нулю, то количество движения
 механической системы остается постоянным.

2. Если проекция главного вектора внешних сил на какую-либо ось все время равна 
нулю, то проекция количества движения механической системы на эту ось постоянна.

Теорема об изменении количества движения материальной точки

Изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равно 
геометрической сумме импульсов сил, приложенных к точке за тот же промежуток времени.

Теорема о движении центра масс системы

Механической системы движется как материальная точка с массой, равной массе всей системы, к которой приложены все внешние силы, действующие на систему.

Следствия из теоремы.

1. Если главный вектор внешних сил все время остается равным нулю, то центр масс механической системы находится в покое или движется прямолинейно и равномерно.

2. Если проекция главного вектора внешних сил на какую- либо неподвижную ось все время остается равной нулю, то проекция центра масс механической системы на эту ось или неподвижна или движется равномерно.

Теорема о моментах инерции твердого тела относительно параллельных осей (теорема Штейнера)

Момент инерции твердого тела относительно некоторой оси равен моменту инерции тела относительно параллельной оси, проходящей через его центр тяжести, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между осями.

Закон независимости действия сил

Несколько одновременно действующих на материальную точку сил сообщают точке такое ускорение, какое сообщила бы ей одна сила, равная их геометрической сумме.

Закон равенства действия и противодействия

Всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие.

Закон пропорциональности силы и ускорения

Ускорение материальной точки пропорционально приложенной к ней силе и имеет одинаковое с ней направление.

Закон инерции

Материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, пока воздействие других тел не изменит это состояние.

Теорема Кориолиса

В случае непоступательного переносного движения абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме переносного, относительного и поворотного ускорений.

Следствие

В случае поступательного переносного движения абсолютное ускорение точки равно геометрической, сумме ее переносного и относительного ускорений.

Теорема о сложении скоростей

Абсолютная скорость точки равна геометрической сумме ее переносной и относительной скоростей.

Теорема об ускорениях точек свободного твердого тела.

Ускорение точки свободного твердого тела равно геометрической сумме ускорения полюса, осестремительного ускорения точки и ее вращательного ускорения, определенных относительно мгновенной оси и оси углового ускорения, проходящих через полюс.

Теорема о скоростях точек свободного твердого тела и ее следствия.

Скорость любой точка свободного твердого тела равна геометрической сумме скорости полюса и скорости этой точки в ее сферическом движении вокруг полюса.

Следствие 1.

Проекции скоростей точек свободного твердого тела на ось, проходящую через эти точки, равны.

Следствие 2.

Концы скоростей точек свободного твердого тела, расположенных на отрезке прямой, лежат на одной прямой и делят эту прямую на части, пропорциональные расстояниям между этими точками.

Следствие 3.

Скорости точек свободного твердого тела, расположенных на прямой, параллельной мгновенной оси, геометрически равны.

Теорема Ривальса

Ускорение любой точки твердого тела при сферическом движении определяется как геометрическая сумма ее вращательного и осестремительного ускорений.

Теорема Эйлера — Даламбера:

Твердое тело, имеющее одну неподвижную точку, можно переместить из одного положения в любое другое поворотом вокруг некоторой оси, преходящей через неподвижную точку.

Теорема об ускорениях точек плоской фигуры и ее следствия.

Ускорение любой точки плоской фигуры равно геометрической сумме ускорения полюса и ускорения этой точки во вращательном движении вокруг полюса.

Следствие 1.

Проекция ускорения любой точки плоской фигуры на ось, проведенную из произвольного полюса через эту точку, не может быть больше проекции ускорения полюса на ту же ось.

Следствие 2.

Концы ускорений точек неизменяемого отрезка лежат на одной прямой и делят эту прямую на части, пропорциональные расстояниям между этими точками.