Теорема о центре поворота для конечного перемещения плоской фигуры (теорема Шаля).

Плоскую фигуру можно переместить из одного положения в любое другое положение на плоскости одним поворотом этой фигуры вокруг некоторого неподвижного центра.

Теорема о скоростях точек плоской фигуры и ее следствия

Скорость любой точки плоской фигуры равна геометрической сумме скорости полюса и вращательной скорости этой точки вокруг полюса.

Плоским или плоско-параллельным движением твердого тела называется такое движение, при котором каждая точка тела движется в плоскости, параллельной некоторой неподвижной плоскости.

Вращательным называется такое движение твердого тела, при котором остаются неподвижными все его точки, лежащие на некоторой прямой, называемой осью вращения

Поступательным движением твердого тела называется такое движение, при котором любая прямая, соединяющая две точки тела, движется параллельно самой себе.

Теорема.

Все точки твердого тела, движущегося поступательно, описывают тождественные и параллельные между собой траектории и в каждый момент времени имеют геометрически равные скорости и ускорения.

Теорема 4.

Площадь поверхности вращения, полученной вращением плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости этой кривой, но ее не пересекающей, равна произведению длины этой кривой на длину окружности, описанной ее центром тяжести.

 Теорема 3.

Объем тела вращения, полученного вращением плоской фигуры вокруг оси, лежащей в плоскости фигуры, но не пересекающей ее, равен произведению площади фигуры на длину окружности, описанной ее центром тяжести.

Теорема 2.

Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то его центр тяжести находится в этой плоскости.

Вспомогательные теоремы для определения положения центра тяжести.

Теорема 1.

Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела находится на этой оси.

Теорема о моменте равнодействующей силы (теорема Вариньона)

Момент равнодействующей относительно любой точки равен геометрической сумме моментов составляющих сил относительно этой точки, а момент равнодействующей силы относительно любой оси равен алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно этой оси.

Сложение пар сил в пространстве. Условие равновесия пар.

Теорема

Геометрическая сумма моментов составляющих пар равна моменту эквивалентной им пары сил.

Теорема об эквивалентных парах

Пары сил эквивалентны, если их моменты геометрически равны.

Теорема о возможности переноса пары сил в любую плоскость, параллельную плоскости действия пары.

Заданную пару сил, не изменяя ее действия на твердое тело, можно перенести в любую плоскость, параллельную плоскости действия этой пары.

Теорема Вариньона о моменте равнодействующей плоской системы сил.

Момент равнодействующей силы относительно любой точки на плоскости равен алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно той же точки.

Теорема о сложении пар на плоскости

Момент пари сил, эквивалентной рассматриваемой системе пар на плоскости, равен алгебраической сумме моментов составляющих пар.

Теорема об условии эквивалентности пар

Пары сил, моменты которых численно равны и одинаковы по знаку, эквивалентны.

Теорема о возможности перемещения пары сил в плоскости ее действия

Пара сил, полученная путем перемещения заданной пары в любое положение в плоскости ее действия, эквивалентна заданной паре сил.

Пара сил. Теорема о моменте пары

Сумма моментов сил, составляющих пару, относительно любого центра в плоскости действия пары не зависит от выбора этого центра, а равна взятому со знаком плюс или минус произведению модуля силы на плечо пары.

Теорема о равновесии трех непараллельных сил

Линии действия трех непараллельных, взаимно уравновешивающихся сил пересекаются в одной точке.

Аксиома сохранения равновесия сил, приложенных к деформирующемуся телу, при его затвердевании.

Равновесие сил, приложенных к деформирующемуся телу, сохраняется при его затвердевании.

Аксиома равенства действия и противодействия

Всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие.

Аксиома параллелограмма сил

Равнодействующая двух пересекающихся сил приложена в точке их пересечения и изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих силах.

Аксиома присоединения и исключения уравновешивающихся сил

Если к твердому телу, находящемуся под действием некоторой системы сил, приложить уравновешивающуюся систему или исключить такую систему сил, то получится система сил, эквивалентная заданной системе.

Аксиома равновесия двух сил

Две силы, приложенные к твердому телу, взаимно уравновешиваются только в том случае, если их модули равны, и они направлены по одной прямой в противоположные стороны.

Аксиома инерции

Под действием взаимно уравновешивающихся сил материальная точка (тело) или находится в состоянии покоя, или движется прямолинейно и равномерно.

Я люблю по крайней мере одну из трех девушек Марину, Ирину или Анну.  М ˅ И ˅ А

Если я люблю Ирину, а не Анну, то я также люблю Марину.  (И ˄ А) → М    

Я или люблю Анну и Марину или не люблю их обеих.  (А ˄ М) ˅ (А ˄ М)  

Если я люблю Анну, то я люблю и Ирину.  А → И

Кого из девушек я люблю?

На острове рыцарей (которые говорят только правду) и лжецов (которые только лгут) два аборигена А и В высказали следующие утверждения:

A:  Мы оба лжецы.

В: Ровно один из нас лжец.

Можно ли определить, кто такой А?  Можно ли определить, кто такой В? 

По обвинению в ограблении перед судов предстали А, В и С. Они заявили следующее:

А - Если я виновны или В виновны, то С виновен. (А ˅ В) → С.

В - Я не виновен, но А или С виновны. В ˄ А ˅ С.

С - Ни один из нас не виновен. ˥(А ˄ В ˄ С).

При этом стало известно, что А и В сказали правду, а С солгал.

В свете этого факта чья виновность и чья невиновность не вызывает сомнений и чья виновность остается под вопросом?

Одного человека судили за участие в ограблении. Обвинитель и защитник в ходе судебного заседания заявили следующее:

Обвинитель - Если подсудимый виновен, то у него был сообщник, А → В.

Защитник - Неверно!  А → В.

Ничего хуже защитник сказать не мог. Почему?

Мистер М. сообщил в полицию, что его ограбили. В ходе расследования подозрение пало на А, В и С и было установлено, что:

1)  Если А виновен,  то у него был ровно один сообщник. А → (В ˅ С).

2)  Если В не виновен, то С также не виновен. В → С.

3) Если виновны ровно двое подозреваемых, то А - один из них. (А ˄ В) ˅ (А ˄ С)

4) Если С не виновен, то В также не виновен. С → В.

Против кого полиция выдвинула обвинение?

В ходе расследования одного уголовного преступления были установлены следующие факты:

1) Никто, кроме А, В и С в преступлении на замешан, и по крайней мере один из этой тройки виновен.

2) Если А виновен и В не виновен, то С виновен.

3) С никогда не действует в одиночку.

4) А никогда не ходит на дело вместе с С.

Чья невиновность, исходя из этих фактов, не вызывает сомнений?

Браун, Джонс и Смит обвиняются  в подделке сведений о подлежащих налоговому обложению доходах. Они дают под присягой такие показания:

Браун - Джонс виновен, а Смит не виновен.

Джонс - Если Браун виновен, то виновен и Смит.

Смит - Я невиновен, но хотя бы один из них двоих виновен.

Если показания всех обвиняемых верны, то кто виновен, а кто невиновен?

Если истинно общеутвердительное, то истинно и частноутвердительное высказывание.

Если частноутвердительное высказывание ложно, то ложно и общеутвердительное.

 

Если общеутвердительное высказывание истинно, то частноотрицательное - ложно.

Если частноотрицательное - истинно, то общеутвердительное высказывание - ложно.

 

Если истинно общеотрицательное, то истинно и частноотрицательное высказывание.

Если частноотрицательное высказывание - ложно, то общеотрицательное - ложно.

 

Если истинно общеотрицательное высказывание, то частноутвердительное ложно.

Если частноутвердительное высказывание - истинно, то общеотрицательное - ложно

 

Если истинно частноутвердительное, то общеотрицательное высказывание ложно.

Если общеотрицательное высказывание истинно, то частноутвердительное - ложно

 

 

 

 

Если частноотрицательное высказывание истинно, то частноутвердительное - истинно или ложно.

Если истинно частноутвердительное высказывание, то частноотрицательное истинно или ложно.

Если истинно частноутвердительное, то общеотрицательное высказывание ложно.

Если истинно частноутвердительное высказывание, то общеутвердительное либо истинно, либо ложно.

Если истинно общеотрицательное высказывание, то частноутвердительное ложно.

Если истинно общеотрицательное, то истинно и частноотрицательное высказывание.

Если общеутвердительное высказывание истинно, то частноотрицательное - ложно.

Если истинно общеутвердительное, то истинно и частноутвердительное высказывание.

аRb

а и b находятся в отношении R 

А является причиной для следствия В, если истинно А → В

Если истинны А → В и А → В, то А - единственная причина.

Если истинны А → В и А → В, то А - не единственная причина.

А не может быть причиной для В, если хотя в одном случае истинно А → В

А не является необходимым условием для В, если В может быть и без А.

А является необходимым условием для В, без А не может быть и В.

А → В

5

А не может быть достаточным условием для В, если хотя в одном случае истинно А → В

4

Если истинно А → В и существует хотя бы один случай, когда истинно А → В, то

А - не единственное достаточное условие для В.

3

Если истинны А → В и А → В, то А - единственное достаточное условие для В.

В имеет место тогда и только тогда, когда имеет место А.

2

Если истинно А → В, то А является достаточным условием для В.

А является достаточным условием для В, если истинно А → В